Ein Vermieter darf schon sagen "es darf nur 1 Person darin wohnen". Allerdings würde hier vor Gericht eine Interessensabwägung gemacht. Weshalb ein Vermieter nichts machen kann, wenn z.B. ihr Partner (z.B. der Kindsvater) zu ihr zieht, da in dem Fall ihr Interesse, dass ihr Partner bei ihr ist, als höher gilt als jenes des Vermieters, der eine vorzeitige Abnutzung der Wohnung verhindern will. Ehepartner, Kinder oder Stiefkinder gelten übrigens nicht als Dritte, für welche man eine Einwilligung des Vermieters braucht. Für die hat man schon von Gesetz wegen quasi automatisch eine Einwilligung vom Vermieter, weil dieser den Zuzug nicht verbieten darf. Wobei es natürlich trotzdem freundlich wäre, den Vermieter über die weitere Person zumindest zu informieren.
Probleme gibt es erst, wenn die Wohnung dabei überbevölkert wird. Z.B. wenn es eine kleine 1-2 Zimmer Wohnung ist und sie langsam schon das 10. Kind in die Welt setzt... da kann ein Vermieter dann irgendwann schon darauf pochen, dass eine größere Wohnung gesucht wird.
Und ja, ein Vermieter kann - entsprechend richtig formuliert - untersagen, dass mit wildfremden Personen eine WG darin gegründet wird. Wobei ich dann nicht zu viel Miete verlangen würde, sonst könnte das Gericht schon wieder urteilen, dass das Interesse des Mieters, die Wohnung wegen der Einnahmen aus der Untermiete überhaupt bezahlen zu können, schon wieder höher liegen als das des Vermieters.