In Deinem Sicherungskasten sollte es 5 Leitungen geben. Drei davon sind stromführend, die vierte wäre die "Rückleitung", da Strom nur im Kreislauf funktioniert und die fünfte wäre die " Erde".
Ein Fehlerstrom-Schutzschalter prüft, ob Strom an der Rücklaufleitung vorbei über die "Erde" Strom ab gibt, zB an ein Maschinengehäuse. Dies darf nicht sein, da man als Mensch sonst beim Berühren des Gehäuses eine " gewischt" bekommt.
Ist also ein Gerät schlecht innen isoliert etc, so kann der Fehlerstromschutzschalter auslösen.
Dies sollte bei Dir wohl nicht der Fall sein, da die Maschinen einzeln betrieben zuverlässig laufen.
Also geht es um die Sicherungen.
Die Sicherungen lassen eine gewisse Menge durch. Laufen Maschinen seit Jahren Tag und Nacht, so wird die Sicherung bis zu 16? Ampere vertragen - wenn die Leitungen so ausgelegt sind.
Ein Stillstand einer Maschine erfordert aber, dass sie neu anläuft, und dass dabei ein Vielfaches an Mehrleistung abgegriffen wird.
Daher kann es sein, dass Waschmaschine und Trockner zusammen eine Überlastung produzieren, je nachdem was sie gerade machen.
Mehr Steckdosen bringt es nicht, da es das nur dann bringt, wenn Du eine andere als dieselbe stromführende Phase/Leitung anzapfst. Dadurch wären dann von den drei Sicherungen nicht mehr eine sondern zwei zuständig. Gleichzeitig könnte die eine Sicherung rausfliegen aber das andere Gerät würde weiter laufen.
Also müsste der Elektriker prüfen, ob er in der Wohnung irgendwo eine zweite Phase findet, und an die würde er eine neue Steckdose anschließen.
Oft liegen Bad und Küche Rücken an Rücken - wegen der Wasser- und Abwasserleitungen, oft liegt in der Küche am Herd auch ein Kabel mit allen drei stromführenden Leitungen, um damit je eine Herdplatte zu versorgen.
Also könnte man auch eine der drei Leitungen anzapfen, wobei man genau die nicht erwischen sollte, an der aktuell bereits Waschmaschine plus Trockner hängen. Dann würde man - wenn die WaMa im Bad steht, durch die Wand ein Loch bohren, um drüben eine weitere Dose zu setzen. Allerdings wird diese ebenfalls überlastet, wenn man die zugehörige Herdplatte nutzt.
Schraubsicherungen im Kasten halten auch nur die drauf geschriebene Ampere Zahl aus, sind aber gemütlicher und regen sich nicht auf, wenn sie beim Anlaufen einer Maschine überlastet werden: erst wird das Fädchen warm, glüht dann und brennt zuletzt erst durch.
Ähnliches gibt es als Sicherungsautomaten "träge": auch die sind so gut wie flinke Automaten, reagieren aber etwas langsamer und federn so Leistungsspitzen ab.
Soweit zulässig - was geprüft werden sollte, wäre der Tausch zu einem trägen Automaten die schnellste und billigste Lösung.
Alternativ findest Du eine Steckdose, die bei raus geflogener Waschmaschinen Sicherung noch geht und legst dann von dort ein vernünftiges Verlängerungskabel zum Trockner.
Zuletzt solltest Du prüfen, ob die Wände und Kabel darin Sondereigentum sind. Dann kannst Du machen was Du willst. Ist das aber nicht so, benötigst Du rein formal die Erlaubnis der Miteigentümer, in deren Miteigentum Du ja schließlich eingreifen würdest.