Ihr habt nunmal schlicht andere Erwartungen an eine Beziehung. Du willst eine Frau, die auf eigenen Beinen steht (absolut verständlich und berechtigt). Sie dagegen will einen Partner, der sie unterstützt, auch finanziell. Das ist ebenfalls absolut verständlich und berechtigt, allerdings absolut nicht kompatibel zu dem, was du willst. Das lässt sich auch nicht in Einklang bringen.
Da sie ohnehin schon Nägel mit Köpfen macht (und du auf die Schnelle auch nichts an ihr zu finden scheinst, das es wert wäre, um sie zu kämpfen bzw. sie notgedrungen eben doch zu finanzieren), würde ich sie nun einfach ziehen lassen. Es ist vollkommen okay, ihr dann nicht auch noch Geld zu geben. Ihr seid ab jetzt getrennt, damit bist du es ihr nicht mehr schuldig, ihr finanziell auszuhelfen. Zu den Kindern kannst du ja weiterhin Kontakt halten.
Aber die Beziehung ist aus. Ich denke auch nicht, dass sie zurückkommt (sonst hätte sie nur mit dem Ende gedroht, nicht aber eine andere Wohnung gesucht). Mach einen Haken dran und gut ist.